the Golden Spiral disclosed

Unknown properties of the Golden Spiral disclosed:

Although clearly proven to be an error in mathematics and geometry, not a few people remain convinced that the golden spiral can be defined by square arcs inside rectangles which, expanding by the ratio of φ, rotate around themselves.
A geometrically fascinating sequence, but which can only concern the squares in their configuration of new rectangles in scale; applying circle arcs to it and then defining it as a spiral is an abuse, although probably born of an irresistible temptation. Indeed, it would seem that the very being attracted by this sequence of polygons in self-generating amplified rotation was the first step to inspire the idea of the golden spiral, with such enthusiasm as to then want to apply it to the triangle as well.
In reality, the fundamental condition and characteristic of the spiral is that every point along its path can never be equidistant from the center like any other point; and this is true for both the rectangle and the triangle.
In addition to ambiguous scholastic information, this incorrect practice has fueled bad information on the web also because in fact, except for a few mathematicians with their own and different formulations, the tools to commonly and easily trace this kind of magnificent curve have been lacking; sometimes even to understand its true meaning if not with the help of references to conformations of nature.

I too found myself embarrassed by the more recent more demanding approach, I could say starting from scratch, having had to touch on the subject in writing my essay on the effective definition of π ("«2x2=3,14»"), which originated from my first discovery in 2003 of the φ scaled circles configuring the majestic Golden Triangle from which everything is derived.
It was the inevitable stimulus that took my efforts one step further.
Following this research, a challenge that remained suspended but which I could no longer ignore after having mentioned it turned out to be precisely the authentic Golden Spiral, of which these circles have remained the background terrain.
By addressing 'Essential Geometry' solutions on the website that interests further and special developments, I finally delved into the correct, simplest and most definitive way to formulate and draw said spiral in each modality (since there is not only one) on a Cartesian system; I solved it at the root with a universal algorithm well illustrated and offered free in its web code, moreover revealing at least two 'secrets' concerning the geometric as well as the creative power of the endlessly open figure.
First of all, the precise and unprecedented relationship that binds or connects the spiral to progressive ellipses.
A summary of the results is clearly visible in the rich and advanced PDF offered here, explained in every detail at the appropriate domain.
After that I ensured that from today anyone can draw and segment the exact golden spiral, in various ways and perspectives useful for research, also with the display of the calculations, not only directly from a special console on the web page
https://golden-spiral.eye-of-revelation.org/Golden-Spirals_interactive-construction.html,
but also in its own website (adapting my JavaScript code there), with a choice of more than 5 defined and illustrated golden ratios.
But that is not all.

The research, with the initial intention of dismantling the unfounded claim to pivot a spiral on the golden triangle derived from the pentagon and on its golden sectionings, has led to the sensational discovery of a principle that we would never have suspected existed, since it demonstrates an implicit tendency of each triangular geometric combination, however irregular it may be, to achieve an ideal golden conformation, exactly that of said already perfect triangle, if only progressively amplified by spiraloid traits according to the dynamic layout that one improperly attempts to attribute to the so-called 'sublime' one.

I have directly called it a 'spiraloid' procedure, not a spiral, carried out and illustrated step by step up to a sufficient precision limit on the site, which is always subject to updates.
This inverse application - where it is not the spiral that develops on the golden triangle subdivisions, but it is the triangle that perfects itself under the pace of the spiraloid - seems to positively reverse the effects of that geometric compromise whose diffusion remains under explicit criticism.

Rivelate proprietà della Spirale Aurea finora sconosciute:

Sebbene chiaramente dimostrato un errore in matematica e geometria, non poche persone restano convinte che la spirale aurea possa essere definita da archi quadrati interni a rettangoli che espandendosi in ragione di φ, si avvicendano intorno a se stessi.
Una sequenza geometricamente affascinante, ma che può riguardare soltanto i quadrati nel loro configurare nuovi rettangoli in scala; applicarvi archi di cerchio per poi definirla spirale è un abuso, ancorché verosimilmente nato da una tentazione irresistibile.
Si direbbe anzi che proprio l'essere attratti da questa sequenza di poligoni in rotazione amplificata auto-generante abbia ispirato per primo l'idea della spirale aurea, con tale entusiasmo da volerla poi applicare anche al triangolo.
In realtà, condizione e caratteristica fondamentale della spirale è che ogni punto lungo il suo percorso non possa mai essere equidistante dal centro come un qualsiasi altro punto; e ciò vale sia per il rettangolo che per il triangolo.
Oltre ad un'ambigua informazione scolastica, uella pratica errata ha alimentato una cattiva informazione sul web anche perché di fatto, tranne che per pochi matematici con formulazioni proprie e differenti, sono mancati gli strumenti per tracciare comunemente ed agevolmente questo genere di magnifica curva; talvolta anche per comprenderne il vero senso se non grazie all'aiuto di riferimenti a conformazioni della natura.

Io stesso mi sono trovato in imbarazzo al più recente approccio di maggior impegno, potrei dire infatti partendo da zero, avendo dovuto toccare l'argomento nella stesura del mio saggio sulla reale configurazione del π (cfr. anche le pagg. 10~11 e 26 del trattato), che ha tratto origine dalla mia prima scoperta nel 2003 dei cerchi in scala φ che configurano il maestoso Triangolo Aureo da cui tutto è derivato.
È stato lo stimolo inevitabile che ha condotto i miei sforzi a compiere un ulteriore passo avanti.
A seguito di questa ricerca, una sfida rimasta sospesa ma che non potevo più trascurare dopo averne dato cenno si è rivelata appunto l'autentica Spirale Aurea, della quale detti cerchi sono rimasti il terreno di fondo.
Affrontando soluzioni di 'Geometria Essenziale' presso il sito web che interessa ulteriori e speciali sviluppi, ho infine approfondito il modo corretto, il più semplice e definitivo per formulare e disegnare detta spirale in ogni modalità (poiché non ve n'è una sola) su un sistema cartesiano; l'ho risolto alla radice con un algoritmo universale ben illustrato ed offerto gratuitamente in codice web, per di più svelando almeno due ‘segreti' concernenti il potere geometrico come pure quello creativo dell'infinita figura aperta.
Anzitutto il preciso quanto inedito rapporto che lega o collega la spirale a progressive ellissi.
Una sintesi dei risultati è ben visibile nel ricco ed avanzato PDF offerto qua, spiegata in ogni dettaglio presso il dominio apposito.
Dopodiché ho fatto sì che da oggi chiunque possa disegnare e segmentare l'esatta spirale aurea, in varie modalità e prospettive utili alla ricerca, con anche l'esposizione dei calcoli, non solo direttamente da un'apposita console alla pagina web:
https://golden-spiral.eye-of-revelation.org/Spirale-Aurea_formazioni-interattive.html
ma anche nel suo proprio sito web (adattando il mio codice JavaScript) con una scelta di più di 5 rapporti aurei definiti ed illustrati;
ma non è tutto.

La ricerca, nell'intento iniziale di smontare l'infondata pretesa di imperniare una spirale sul triangolo aureo derivato dal pentagono e sui suoi sezionamenti aurei, ha condotto alla scoperta sensazionale di un principio che non avremmo mai sospettato esistesse, poiché dimostra un'implicita tendenza di ogni combinazione geometrica triangolare, per quanto irregolare possa essere, a conseguire una conformazione aurea ideale, esattamente quella di detto triangolo già perfetto, se solo amplificata progressivamente da tratti spiraloidi secondo il tracciato dinamico che si tenta impropriamente di attribuire a quello detto ‘sublime’.

L'ho semplicemente denominato un procedimento ‘spiraloide’, non una spirale, svolto ed illustrato passo per passo fino ad un sufficente limite di precisione nel sito, che è sempre soggetto ad aggiornamenti.
Tale applicazione inversa - ove non è la spirale che si sviluppa sulle suddivisioni auree triangolo, ma è il triangolo a perfezionarsi sotto l'andatura della spiraloide - pare capovolgere positivamente gli effetti di quel compromesso geometrico la cui diffusione rimane sotto critica esplicita.